Dans cette partie, on s'intéresse à un exemple de système se présentant sous la forme d'une équation de récurrence dont les coefficients sont soumis à une perturbation aléatoire.
On suppose $p\geq 2$. Soit $A$ une matrice non nulle de ${\cal M}_p(\mathbb R)$ et $b$ un vecteur de $\mathbb R^p$.
Soit $(x(n))_{n\in\mathbb N}$ une suite de vecteurs de $\mathbb R^p$ définie par son terme initial $x(0)$ et la relation de récurrence : $$\forall n\in\mathbb N,X(n+1)=AX(n)+B.$$
On appelle équilibre du système piloté pas à pas par le couple $(A,b)$, tout vecteur $x^*=(x_1^*,\dots,x^*_p)\in\mathbb R^p$ qui vérifie : $X^*=AX^*+B$.
On suppose qu'il existe une matrice inversible $Q\in{\cal M}_p(\mathbb R)$ telle que la matrice $D=Q^{-1}AQ$ soit diagonale et que tous les coefficients diagonaux $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ de D appartiennent à l'intervalle ouvert $]-1,+1[$.
10. Montrer que le système piloté pas à pas par le couple $(A,b)$ admet un unique équilibre $x^*$.
La perturbation aléatoire du systèùe se traduit par le fait que les coordonnées de $x^*$ sont des paramètres inconnus qu'on peut chercher à estimer à partir des données observées que consituent les valeurs successives de vecteurs aléatoires $y(n)=(y_1(n),\dots,y_p(n))$ à valeurs dans $\mathbb R^p$ et soumis au système perturbé.
Soit $(U_n)_{n\in\mathbb N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,{\cal A},P)$, centrées et admettant chacune un moment d'ordre 2. Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on note $v_n=V(U_n)$ la variance de $U_n$.
Soit $x(0)\in\mathbb R^p$ et $(y(n))_{n\in\mathbb N}$, la suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans $\mathbb R^p$ définie par : $$\begin{cases}Y(1)=(A+U_1I_p)X(0)+B\\ \forall n\in\mathbb N^*,Y(n+1)=(A+U_{n+1}I_p)Y(n)+B\end{cases}$$ où, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $Y(n)$ est la matrice colonne $(y_k(n))_{1\leq k\leq p}$.
11. Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on note $E(y(n))$ le vecteur $\left(E\left(y_1(n)\right),\dots,E\left(y_p(n)\right)\right)\in\mathbb R^p$ et $E(Y(n))$ la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique de $\mathbb R^p$.
a) Calculer $E(Y(1))$ et justifier pour tout $n\in\mathbb N^*$, l'égalité : $E(Y(n+1))-X^*=A\left(E(Y(n))-X^*\right)$.
b) En déduire que $\lim_{n\to+\infty}E(y(n))=x^*$.
12. Soit $\left(z(n)\right)_{n\in\mathbb N^*}$ la suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans $\mathbb R^p$ définie par : $\forall n\in\mathbb N^*, Z(n)=Q^{-1}Y(n).$
a) Montrer pour tout $n\in\mathbb N^*$ et tout $k\in[\![1,p]\!]$, que : $V(z_k(n+1))=(\lambda_k^2+v_{n+1})V(z_k(n))+v_{n+1}\left(E(z_k(n))\right)^2$.
b) En déduire que si la suite $(v_n)_{n\in\mathbb N^*}$ est convergente et de limite nulle, alors il existe un réel $c_k\in]0,1[$, un entier naturel $N$ et un réel $M_k>0$ tels que : $\forall n\geq N, V(z_k(n+1))\leq c_kV(z_k(n))+M_kv_{n+1}$.
13. On suppose que la série de terme général $v_n$ est convergente. Soit $k\in[\![1,p]\!]$. Avec les notations de la question 12.b), on pose pour tout $m\in\mathbb N:\alpha_m=V(z_k(N+m))$ et $w_m=M_kv_{N+m+1}$.
a) Montrer que pour tout $m\in\mathbb N$, on a : $\alpha_{m+1}\leq (c_k)^{m+1}\alpha_0+\sum_{j=0}^mw_j(c_k)^{m-j}$.
b) En déduire que $\lim_{n\to+\infty}V(z_k(n))=0$.
c) Montrer que la suite $(y_k(n))_{n\in\mathbb N^*}$ converge en probabilité vers $x^*_k$.
Grâce aux résultats des questions 11.b) et 13.c), on peut dire que $(y(n))_{n\in\mathbb N^*}$ est une suite d'estimateurs de $x^*$ asymptotiquement sans biais et convergente.
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