Un exemple de pilotage non linéaire est fourni par un modèle de croissance économique endogène à deux secteurs dans lequel le taux de croissance du stock de capital et le taux de croissance du stock de connaissances sont représentés, depuis une date choisie comme origine, par des fonction $x_1$ et $x_2$ respectivement.
Dans ce modèle où $\rho$ désigne un paramètre réel strictement positif, les deux fonctions $x_1$ et $x_2$ sont dérivables sur $\mathbb R_+$, à valeurs réelles, et vérifient le système : $$\forall t>0,\begin{cases}x'_1(t)=F_1(x_1(t),x_2(t))\\ x'_2(t)=F_2(x_1(t),x_2(t))\end{cases}\space (S)$$ dans lequel les deux fonctions $F_1$ et $F_2$ définies sur $\mathbb R^2$, à valeurs réelles, sont données par : $$\forall (u_1,u_2)\in\mathbb R^2,\begin{cases}F_1(u_1,u_2)=(-u_1+\rho(u_2-u_1)+1)u_1\\ F_2(u_1,u_2)=(-u_2+\rho(u_1-u_2)+1)u_2\end{cases}$$
5.a) Pour tout réel $\nu>-1$, on pose : $\forall t\geq 0,x_1(t)=x_2(t)=\frac{1}{1+\nu e^{-t}}$.
Vérifier que l'application $x:t\mapsto (x_1(t),x_2(t))$ est solution du système $(S)$.
b) En déduire que pour tout réel $c\in]0,1[$, il existe une solution de $(S)$ à valeurs dans $[c,+\infty[^2$.
c) Quel est l'unique couple $x^*=(x^*_1,x^*_2)\in(\mathbb R^*_+)^2$ vérifiant $F_1(x^*_1,x^*_2)=0$ et $F_2(x^*_1,x^*_2)=0$?
d) Toutes les solutions de $(S)$ convergent-elles vers $x^*$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$?
6. Pour tout réel $x$, on note $q_r$ la forme quadratique sur $\mathbb R^2$ associée à la matrice symétrique $Q_r=\begin{pmatrix}1 & -r\\ -r & 1\end{pmatrix}$.
On note ${\cal C}_r$ l'ensemble défini par : ${\cal C}_r=\{(u_1,u_2)\in\mathbb R^2;q-r(u_1,u_2)=1\}$.
a) Pour quelles valeurs de $r$ la forme quadratique $q_r$ est définie positive? Que peut-on dire alors de la parti ${\cal C}_r$ de $\mathbb R^2$?
Dans toute la suite de cette question, $r$ et $s$ sont deux réels vérifiant les inégalités : $0<\! s<\! r<\! 1$.
Justifier que l'ensemble $\{q_s(u_1,u_2);(u_1,u_2)\in{\cal C}_r\}$ admet une borne inférieure, notée $m_{r,s}$, et une borne supérieure notée $M_{r,s}$, et que ces deux bornes sont atteintes.
c) Justifier que la contrainte d'appartenant à l'ensemble ${\cal C}_r$ est non critique.
d) Enoncer la condition nécessaire du premier ordre pour un extremum de $q_s$ sous la contrainte ${\cal C}_r$.
e) En déduire les valeurs de $m_{r,s}$ et $M_{r,s}$ et établir l'existence d'un réel $\mu$ tel que : $$\forall (u_1,u_2)\in\mathbb R^2,q_s(u_1,u_2)\leq \mu q_r(u_1,u_2).$$
7. On conserve les notations de la question 6..
a) Soit $(v_1,v_2)\in\mathbb R^2$ et $(u_1,u_2)=\frac{\sqrt 2}{2}(v_1-v_2,v_1+v_2)$. Vérifier que $(u_1,u_2)\in{\cal C}_r$ si et seulement si on a : $(1-r)(v_1)^2+(1+r)(v_2)^2=1$.
On se place désormais dans le cas $r=\frac{1}{2}$ et $s=\frac{1}{4}$.
Pour faire tracer Scilab le domaine ${\cal C}_r$, on peut utiliser le code suivant qui donne le graphique ci-dessous :
(1) n=100 (2) theta=linspace(0,2*%pi,n); (3) ct=cos(theta); (4) st=sin(theta); (5) Cr=[ct-(1/sqrt(3))*st;ct+(1/sqrt(3))*st]; (6) plot(Cr(1, :),Cr(2, :))
En s'appuyant sur le résultat de la question 7.a), expliquer la méthode employée.
On précisera la signification de la ligne (2) ainsi que le format et le contenu des matrices Cr et Cr(1, :).
c) Soit $z_0>0$ une valeur affectée à la variable $z$ utilisée ci-dessous. Compléter la ligne (7) afin de tracer la ligne de niveau $z_0$ de la fonction $q_s$.
(7) Csz=[sqrt(z)*(?? *ct+?? *st) ; sqrt(z)*(?? *ct+?? *st)]; (8) plot (Csz(1, :),Csz(2, :))
Le graphique suivant a été obtenu à l'aide des deux scripts précédents pour une valeur $z_0$ affectée à la variable $z$. Laquelle?
On justifiera la réponse donnée et on précisera pourquoi les deux courbes ont des tangentes communes.
8. Soit $c$ un réel de $]0,1[$ et $x$ une solution de $(S)$ à valeurs dans $[c,+\infty[^2$.
On pose pour $t\geq 0$ : $y_1(t)=x_1(t)-1$ et $y_2(t)=x_2(t)-1$. Pour $s=\frac{\rho}{1+\rho}$, on note $f$ la fonction définie sur $\mathbb R_+$ à valeurs réelles, telle que $f(t)=q_s(y_1(t),y_2(t))$.
a) Vérifier pour tout $t\geq 0$, l'égalité : $f'(t)=-2(1+\rho)\left(x_1(t)\left(y_1(t)-sy_2(t)\right)^2+x_2(t)\left(y_2(t)-sy_1(t)\right)^2\right)$.
b) En déduire que pour $r=\frac{2s}{1+s^2}$, on a pour tout $t\geq 0:f'(t)\leq -2c\times\frac{1-s}{1-r}\times q_r(y_1(t),y_2(t)).$
c) Justifier pour tout $t\geq 0$, l'inégalité : $f'(t)\leq -2cf(t)$. En déduire que $\lim_{t\to+\infty}f(t)=0$.
9. Quelle propriété peut-on déduire de l'étude précédente pour toute solution de $(S)$ dont chacune des composantes admet un minorant strictement positif?
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