Pour tout couple $(p,q)$ d'entiers de $\mathbb N^*$, on note ${\cal M}_{p,q}(\mathbb R)$ (resp. ${\cal M}_{p,q}(\mathbb C)$) l'ensemble des matrices à $p$ lignes et $q$ colonnes à coefficients réels (resp. complexes) et ${\cal M}_{p}(\mathbb R)$ (resp. ${\cal M}_{p}(\mathbb C)$) cet esmble quand $q=p$.
On note $I_p$ la matrice identité de ${\cal M}_{p}(\mathbb C)$.
Dans tous le problème :
Soit $(M_n)_{n\in\mathbb N^*}$ une suite de matrices de ${\cal M}_p(\mathbb R)$. Pour tout $n$ de $\mathbb N^*$, on pose $M_n=(m_{k,j}(n))_{1\leq k,j\leq p}$. On dit que la suite de matrices $(M_n)_{n\in\mathbb N^*}$ converge vers la matrice $M=(m_{k,j})_{1\leq k,j\leq p}$ de ${\cal M}_p(\mathbb R)$, si pour tout couple $(k,j)$ de $[\![1,p]\!]^2$, on a $\lim_{n\to+\infty}m_{k,j}(n)=m_{k,j}$; on note alors : $\lim_{n\to+\infty}M_n=M$.
On admet sans démonstration que si $(A_n)_{n\in\mathbb N^*}$ et $(B_n)_{n\in\mathbb N^*}$ sont deux suites de matrices de ${\cal M}_p(\mathbb R)$ convergeant respectivement vers des matrices $A$ et $B$, alors la suite $(A_n+B_n)_{n\in\mathbb N^*}$ converge vers la matrice $A+B$, la suite $(A_nB_n)_{n\in\mathbb N^*}$ converge vers la matrice $AB$ et, pour tout réel $\alpha$, la suite $(\alpha A_n)_{n\in\mathbb N^*}$ converge vers la matrice $\alpha A$.
Une matrice $A=(a_{k,j})_{1\leq k,j\leq p}$ de ${\cal M}_p(\mathbb R)$ est dite positive (resp. strictement positive) si pour tout couple $(k,j)$ de $[\![1,p]\!]^2$, on a : $a_{k,j}\geq 0$ (resp. $a_{k,j}>0$).
Le problème a pour objet l'étude des relations entre les valeurs propres de module maximal d'une matrice et la limite éventuelle de la suite des puissances entières de cette matrice. Ces relations, appliquées aux matrices positives et strictement positives, interviennent notamment dans la théorie des processus markoviens et dans les questions relatives à l'xistence et la stabilité de l'équilibre générale d'une économie.
1. Exemple 1. Soit $A$ et $J$ les matrices de ${\cal M}_3(\mathbb R)$ définies par $A=\begin{pmatrix}0 & 1/2 & 1/2\\ 1/2 & 0 & 1/2\\ 1/2 & 1/2 & 0\end{pmatrix}$ et $J=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$.
a) Calculer $J^2$ et déterminer les valeurs propres de $J$.
Une rédaction qui minimise les calculs : $J^2=3J$, un polynôme annulateur est donc $X^2-3X$. Les valeurs propres possibles sont racines de ce polynômes qui sont 3 et 0. Enfin on observe que $\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ est vecteur propre de valeur propre 3 et que $\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}$ est vecteur propre de valeur propre 0. Les valeurs propres sont donc 0 et 3.
b) Exprimer $A$ en fonction de $I_3$ et $J$, en déduire $Sp(A)$ et $\rho(A)$.
$A=\frac{1}{2}(J-I_3)$. On montre facilement que $X$ est vecteur propre de $A$ de valeur propre $\lambda$ si et seulement si $X$ est valeur propre de $J$ de valeur propre $2\lambda+1$. On en déduit que comme les valeurs propres de $J$ sont $0$ et $3$, celles de $A$ sont $-\frac{1}{2}$ et $1$. Il suit que $\rho(A)=1$.
c) Exprimer pour tout $n$ de $\mathbb N^*$, $A^n$ en fonction de $I_3$, $J$ et $n$. En déduire pour tout $n$ de $\mathbb N^*$, la valeur de $N(A^n)$.
$J$ et $I_3$ commutent donc on peut appliquer la formule de Newton : $$A^n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}(-1)^{n-k}J^k.$$ Or on observe que pour $k\geq 1$, $J^k=3^{k-1}J$ donc : $$\begin{align} A^n&=\frac{1}{2^n}\left((-1)^nI_3+J\sum_{k=1}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}(-1)^{n-k}3^{k-1}\right)\\ &=\frac{1}{2^n}\left((-1)^nI_3+J\left(\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}(-1)^{n-k}3^{k-1}-(-1)^n3^{-1}\right)\right)\\ &=\frac{1}{2^n}\left((-1)^nI_3+J\left(\frac{1}{3}(3-1)^n-(-1)^n3^{-1}\right)\right)\\ &=\frac{1}{2^n}\left((-1)^nI_3+J\left(\frac{1}{3}2^n-(-1)^n3^{-1}\right)\right). \end{align}$$ Maintenant en écrivant l'expression de la matrice $A$, la somme des valeurs absolues des éléments d'une ligne est $\sum_{k=1}^3|a_{i,k}|=1$ donc $N(A^n)=\sup_{i=1,2,3}\sum_{k=1}^3|a_{i,k}|=1$.
d) Montrer que la suite $(A^n)_{n\in\mathbb N^*}$ converge vers une matrice $M$ que l'on explicitera et dont on précisera le rang. Montrer que $M$ est la matrice d'un projecteur de $\mathbb R^3$.
D'après la question précédente $A^n=\frac{(-1)^n}{2^n}I_3+J\left(\frac{1}{3}-\frac{(-1)^n}{2^n}\right)$ qui tend vers $\frac{1}{3}J$ quand $n$ tend vers l'infini. D'autre part $\frac{1}{3}J$ a toutes ses colonnes identiques donc $J$ est de rang 1. Enfin $\left(\frac{1}{3}J\right)^2=\frac{1}{3}J$ donc c'est la matrice d'un projecteur.
2. Exemple 2. Soit $A$ la matrice de ${\cal M}_3(\mathbb C)$ définie par $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1+i & 1\\ 0 & 0 &1-i\end{pmatrix}$.
a) Déterminer $Sp(A)$. Justifier que $A$ est diagonalisable. Calculer $N(A)$ et $\rho(A)$.
$A$ est triangulaire donc ses valeurs propres sont sur la diagonales et $Sp(A)=\{1,1+i,1-i\}$. On trouve aussi $N(A)=\sqrt 2+1$ et $\rho(A)=\sqrt 2$.
b) Déterminer une base de ${\cal M}_{3,1}(\mathbb C)$ formée de vecteurs propres de $A$.
Clairement $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ sont des vecteurs propres de valeurs propres 1 et 1+i respectivement. Puis un petit calcul permet de trouver $\begin{pmatrix}0\\i\\2\end{pmatrix}$ comme vecteur propre de valeur propre $1+i$. Enfin les trois valeurs propres étant disctinctes, ces trois vecteurs forment une base de $\mathbb R^3$.
c) Expliciter pour tout $n$ de $\mathbb N^*$, la matrice $A^n$. Comparer $\rho(A^n)$ et $(\rho(A))^n$.
On diagonalise $A$. Une matrice de passage est d'après les question précéfentes : $$P=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & i\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix},$$ dont l'inverse est $$P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -i/2\\ 0 & 0 & 1/2\end{pmatrix}.$$ On a donc $$A^n=PD^nP^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & i\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & (1+i)^n & 0\\ 0 & 0 & (1-i)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -i/2\\ 0 & 0 & 1/2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & (1+i)^n & \frac{i}{2}((1+i)^n-(1-i)^n)\\ 0 & 0 & (1-i)^n\end{pmatrix}.$$ Les valeurs propres étant sur la diagonale, on a $\rho(A^n)=2^{n/2}=\rho(A)^n$.
d) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb N^*$, on a : $N(A^n)=2^{\frac{n}{2}}(1+|\sin(n\pi/4)|)$. Comparer $\lim_{n\to+\infty}(N(A^n))^{1/n}$ et $\rho(A)$.
On observe que : $$(1+i)^n-(1-i)^n=(\sqrt 2e^{i\pi/4})^n-(\sqrt 2e^{-i\pi/4})^n=2^{n/2}(e^{in\pi/4}-e^{-in\pi/4})=2^{n/2}2i\sin(n\pi/4).$$ On en déduit alors facilement le résultat demandé. Enfin $(1+\sin(n\pi/4))$ prenant les valeurs $1$, $2$ et $1+\frac{\sqrt 2}{2}$, on montre facilement que $N(A^n)^{1/n}$ converge vers $\sqrt 2=\rho(A)$.
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