Dans cette partie, on suppose que $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb R$ de dimension finie $n$ où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 1 et $u$ un élément de $L(E)$.
11) On suppose que tout vecteur non nul de $E$ est un vecteur propre de $u$. Montrer que $u$ est une homothétie.
On commence par montrer qu'il n'y a qu'une seule valeur propre. Soient $\lambda$ et $\mu$ deux valeurs propres distinctes et $x$ et $y$ deux vecteurs associés respectivement. On sait que deux vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes sont linéairements indépendants donc $x$ et $y$ sont linéairements indépendants. Or tous vecteurs de $E$ sont vecteurs propres, donc $x+y$ est un vecteur propre. Notons $\alpha$ la valeur propre associée à $x+y$. On a alors la relation : $$\alpha(x+y)=u(x+y)=u(x)+u(y)=\lambda x+\mu y,$$ soit encore $$(\lambda-\alpha)x+(\mu-\alpha)y=0.$$ Or $x$ et $y$ étant linéairement indépendant, on en déduit que $\lambda=\alpha=\mu$ ce qui contredit $\lambda$ différent de $\mu$.
Notons alors $\lambda$ l'unique valeur propre, comme tout élément de $E$ est vecteur propre on a forcément $E=E_\lambda=Ker(u-\lambda id_E)$. Il suit que $u-\lambda id_E=0$ soit encore $u=\lambda id_E$. $u$ est donc bien une homothétie.
12) Soit $U$ la partie de $L(E)$ formée des projecteurs de $E$ et $v$ dans $C(U)$. On se donne $e$ un vecteur non nul de $E$ et un supplémentaire $G$ de $F=Vect(e)$. En considérant la projection sur $F$ parallèlement à $G$, montrer que $v$ est une homothétie de $E$. En déduire $C(U)$.
Puisque $\nu$ commute avec le projecteur sur $Vect(e)$, d'après la partie I $Vect(e)$ étant le sous espace propre associé à la valeur propre 1 de ce projecteur, $Vect(e)$ est stable par $\nu$. Il suit que $\nu(e)$ doit appartenir à $Vect(e)$, c'est-à-dire qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $\nu(e)=\lambda e$. $e$ étant arbitraire, on en déduit que tout vecteur non nuul de $E$ est un vecteur propre donc $\nu$ est une hoùothétie d'après la question 11.
Nous venons de montrer que les éléments non-nuls de $C(U)$ sont des homothéties. Or réciproquement toute homothétie commute avec tout les projecteurs, donc on en déduit que $C(U)$ est l'ensemble des homothétie et de l'endomorphisme nul. En d'autres termes : $C(U)=Vect(id_E)$.
13) Que vaut $C(L(E))$?
Comme $L(E)$ contient les projecteurs, les éléments non-nuls de $C(L(E))$ sont des homothéties. Or toute homothétie commute avec tout élément de $L(E)$, donc on a aussi $C(L(E))=Vect(id_E)=C(U)$.
Dans cette partie, on suppose que $E=\mathbb R^n$ et que $u$ est un endomorphisme diagonalisable de $E$.
On note $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ les valeurs propres distinctes de $u$, $E_1,\dots,E_p$ les espaces propres correspondants et, pour tout $i$ de $[\![1,p]\!]$, $r_i=dim E_i$.
14) Justifier que, pour tout $\nu$ de $C(u)$ et pour tout $i$ de $[\![1,p]\!]$, $E_i$ est stable par $\nu$.
Résultat déjà vu dans la partie I.
15) Réciproquement, si $\nu$ est un endomorphisme de $E$ tel que, pour tout $i$ de $[\![1,p]\!]$, $E_i$ est stable par $\nu$, montrer que : $\nu\in C(u)$.
$u$ étant diagonalisable, $E$ est somme directe des sous-espaces propre, donc tout vecteur $x$ peut se décomposer de façon unique comme $x=\sum_i x_i$ où chaque $x_i$ est un élément de $E_i$. Maintenant $E_i$ étant stable par $\nu$, on a que $\nu(x_i)\in E_i$ et donc que $u(\nu(x_i))=\lambda_i\nu(x_i)$. On a donc que : $$u(\nu(x))=u(\sum_i\nu(x_i))=\sum_iu(\nu(x_i))=\sum_i\lambda_i\nu(x_i)=\nu(\sum_i\lambda_ix_i)=\nu(u(x)).$$ Le résultat étant vrai pour tout $x$ de $E$, il suit que $\nu ou=uo\nu$.
16) Considérer une base $b$ de $E$ adaptée à l'écriture $E=\oplus_{i=1}^pE_i=E_1\oplus\dots\oplus E_p$ et caractériser les endomorphismes de $C(u)$ par l'allure de leur matrice dans cette base.
On considère $b$ une base constituées de vecteurs propres de $u$. Comme un élément de $C(u)$ laisse stable chacun des $E_i$, la matrice d'un tel élément dans $b$ est une matrice bloc diagonale. Plus précisément elle a pour forme : $$M=\begin{pmatrix} A_1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & A_2 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & A_n \end{pmatrix}$$ où chaque $A_i$ est une matrice carrée de taille $r_i\times r_i$.
17) En déduire que : $dim C(u)=\sum_{i=1}^pr_i^2$.
D'après la question précédente la matrice d'un endomorphisme de $C(u)$ dans une base de vecteurs propres de $u$ est une matrice bloc diagonale qui contient $\sum_i r_i^2$ coefficients.
18) Montrer que $dim C(u)\geq n$, puis que : $dim C(u)=n$ si et seulement si $u$ admet $n$ valeurs propres distinctes.
Puisque $r_i\geq 1$, on a $r_i^2\geq r_i$ et $dim C(u)=\sum_{i=1}^pr_i^2\geq \sum_{i=1}^pr_i=n$. D'autre part $dimC(u)=n$ si et seulement si $\sum_{i=1}^pr_i^2=\sum_{i=1}^pr_i=n$ ce qui est équivalent à $r_i=1$ pour tout $i$, c'est-à-dire qu'il y a $n$ valeurs propres distinctes.
19) Ecrire la matrice $M$ de $u$ dans la base $b$. Pour tout $k$ de $\mathbb N$, calculer $M^k$, puis $P(M)$ pour tout $P$ polynôme de $\mathbb R[X]$.
On a $$M=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ddots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_p & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_p \end{pmatrix}$$ donc $$M^k=\begin{pmatrix} \lambda_1^k & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_1^k & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ddots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_p^k & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_p^k \end{pmatrix}$$ et $$P(M)=\begin{pmatrix} P(\lambda_1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & P(\lambda_1) & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ddots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & P(\lambda_p) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & P(\lambda_p) \end{pmatrix}$$
20) On note $\pi(X)=\prod_{i=1}^p(X-\lambda_i)$, que vaut $\pi(u)$?
Grace à 19 on a que $\pi(M)=0$ donc $\pi(u)=0$.
21) Plus généralement, si $P$ est un polynôme de $\mathbb R[X]$, vérifier que : $P(u)=0$ si et seulement si pour tout $i$ de $[\![1,p]\!]$, $P(\lambda_i)=0$.
Toujours grace à 19, on voit que si $P(\lambda_i)=0$ pour tout $i$ alors $P(M)=0$ donc $P(u)=0$. Et réciproquement, $P(u)=0$ implique que $P(M)=0$ et grace à 19, $P(\lambda_i)=0$ pour tout $i$.
22) En déduire que la famille $(id_E,u,\dots,u^{p-1})$ est libre dans $L(E)$.
Soit $\alpha_0,\dots,\alpha_{p-1}$ des réels tels que $$\alpha_0 id_E+\alpha_1 u+\dots,\alpha_{p-1}u^{p-1}=0.$$ Posons $P(X)=\alpha_0+\alpha_1X+\dots+\alpha_{p-1}u^{p-1}$, on a alors $P(u)=0$. Donc d'après 21 les $\lambda_i$ sont racines de $P$. Or $P$ est de degré au plus $p-1$ et admet $p$ racine, donc forcément $P$ est le polynôme nul, c'est à dire $\alpha_0=\dots=\alpha_{p-1}=0$. La famille est donc libre.
23) Montrer que : $\forall k\in\mathbb N, u^k\in Vect(id_E,u,\dots,u^{p-1})$. En déduire : $dim \mathbb R[u]=p$.
On effectue la division Euclidienne de $X^k$ par $\pi$ alors il existe un polynôme $R$ tel que $deg(R)<\! p$ et un polynôme $Q$ tel que $X^k=Q(X)\pi(X)+R(X)$. En appliquant à $u$ et en utilisant le fait que $\pi(u)=0$, on a $u^k=R(u)$. Or comme $deg(R)\leq p-1$, on a bien $u^k=R(u)\in Vect(id_E,u,\dots,u^{p-1})$. On en déduit que $(id_E,u,\dots,u^{p-1})$ est génératrice de $\mathbb R[u]$ mais aussi libre d'après 23 donc est une bnase de $\mathbb R[U]$. Il suit donc bien que $dim \mathbb R[u]=p$.
24) Démontrer que $C(u)=\mathbb R[u]$ si et seulement si $u$ admet $n$ valeurs propres distinctes.
Si $C(u)=\mathbb R[u]$ alors dim(C(u))=p donc d'après 18, $p\geq n$ donc $p=n$ (car $p\leq n$). Il suit donc que $u$ a $n$ valeurs propres distinctes.
Réciproquement si $u$ admet $n$ valeurs propres disctinctes on a $n=p$ et d'après 18, $dim(C(u))=n=p=dim\mathbb R[u]$. Or d'après la partie I $\mathbb R[u]\subset C(u)$ donc comme ils ont même dimension ils sont égaux.
On garde, dans cette partie, les mêmes notations et hypothèses que dans la partie IV.
On veut déterminer $C(C(u))$ que l'on notera plus simplement $C_2(u)$.
25) Vérifier que $C_2(u)\subset C(u)$.
Soit $v\in C_2(u)$, comme $u\in C(u)$, on a forcément $vou=uov$ donc $v\in C(u)$ ce qu'il fallait démontrer.
26) Montrer que $\mathbb R[u]\subset C_2(u)$.
On observe que $u\in C_2(u)$ puis on raisonne comme dans la partie I.
27) Pour $\nu$ dans $C_2(u)$ et $i$ dans $[\![1,p]\!]$, on note $\nu_i$ l'endomorphisme de $E_i$ défini par : $\forall x\in E_i,\nu_i(x)=\nu(x)$. Montrer que : $\nu_i\in C(L(E_i))$. En déduire qu'il existe un réel $\mu_i$ tel que : $\nu_i=\mu_i id_{E_i}$.
Comme $u$ est diagonalisable, il est clair qu'un projecteur sur un sous-espace vectoriel d'un des $E_i$ commute avec $u$. Il suit donc qu'un élément $\nu\in C_2(u)$ va commuter avec de tels projecteurs. On en déduit alors que $\nu_i$ va commuter avec tous les projecteurs de $E_i$. Si on note $U_i$ l'ensemble des projecteurs de $E_i$, on a $\nu\in C(U_i)$. Or d'après 13 $C(U_i)=C(L(E_i))$ donc $\nu\in C(L(E_i))$. Enfin on a vu dans 13 que ce dernier espace est en fait $Vect(id_{E_i})$, ceci justifie donc l'existence de $\mu_i$ tel que $\nu_i=\mu_i id_{E_i}$.
28) Montrer qu'il existe un unique polynôme $Q$ de degré inférieur ou égal à $p-1$ tel que : $\forall i\in[\![1,p]\!], Q(\lambda_i)=\mu_i$.
Exercice classique, on introduit l'application linéaire $\varphi:\mathbb R_{p-1}[X]\to\mathbb R^p$ qui agit comme suit : $$\varphi(P)=(P(\lambda_1),\dots,P(\lambda_p)).$$ Par un argument de degré, on montre que le noyau de $\varphi$ est réduit à 0 donc $\varphi$ est injective. Et par un argument de dimension on en déduit que $\varphi$ est bijective. On peut donc affirmer l'existence d'un unique polynôme $Q$ vérifiant $\varphi(Q)=(\mu_1,\dots,\mu_p)$.
29) Démontrer que : $C_2(u)=\mathbb R[u]$.
On sait d'jà d'après 26 que $\mathbb R[u]\subset C_2(u)$. En décomposant un vecteur $x$ dans une base de vecteurs propres de $u$, on montre que $Q(u)(x)=\nu(x)$. Il suit que $Q(u)=\nu$ ce qui prouve que $\mathbb R[u]\subset C_2(u)$. On a donc bien l'égalité demandée.
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