La première partie du sujet ne présente pas trop de diffcultés. Par contre la seconde partie demande une connaissance parfaite des définitions d'équivalent, de petit o et de la définition abstraite d'une limite (avec les $\epsilon$). Enfin la troisième partie est une partie de synthèse. Pour bien la réussir, il ne faudra pas hésiter à revenir sur les constructions effectuées lors de la première partie.
On désigne par $I$ l'intervalle $[1,+\infty[$; on note $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur $I$ à valeurs réelles et $C^1(I,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^1$ sur $I$ à valeurs réelles.
On fixe enfin $a$ un réel strictement positif.
Pout $f$ un élement de $E$, on dit qu'une fonction $y$ de $C^1(I,\mathbb R)$ est une solution du problème $\left(E_f\right)$ si : $$\forall x\in I,\ y'(x)-ay(x)+f(x)=0.$$
L'objectif de ce problème est de montrer qu'à tout élément $f$ de $E$, on peut associer une unique solution $g$ de $\left(E_f\right)$ qui soit bornée sur $I$, puis d'étudier l'opérateur $U:f\mapsto g$.
Les trois parties du problème traitent, souvent à partir d'exemple, de propriétés de l'opérateur $U$.
1. Etude de l'équation $\left(E_f\right)$
a) On considère $f\in E$ et $y\in C^1(I,\mathbb R)$. Ecrire la dérivée de $x\mapsto e^{-a x}y(x)$. Montrer alors que $y$ est solution du problème $\left(E_f\right)$ si et seulement si il existe $K\in\mathbb R$ tel que : $\forall x\in I,y(x)=e^{a x}\left(K-\int_1^xe^{-a t}f(t)dt\right)$.
La dérivée de $x\mapsto e^{-a x}y(x)$ est $e^{-ax}(y'(x)-ay(x))$. Maintenant $y$ est solution de $(E_f)$ si et seulement si $e^{-ax}(y'(x)-ay(x))=e^{-ax}f(x)$ si et seulement si $(e^{-ax}y)'=e^{-ax}f(x)$. En intégrant cette dernière inégalité entre 1 et x, ceci est encore équivalent à $e^{-ax}y(x)-e^{-a}y(1)=\int_1^xe^{-at}f(t)dt$. Il ne reste plus qu'à réorganiser cette dernière inégalité pour répondre à la question.
b) Montrer que, s'il existe une solution de $\left(E_f\right)$ qui soit bornée sur $I$, celle-ci est unique.
On considère deux solutions $y_1$ et $y_2$. D'après la question 1.a) elles sécrivent sous la forme $y_1(x)=e^{a x}\left(K_1-\int_1^xe^{-a t}f(t)dt\right)$ et $y_2(x)=e^{a x}\left(K_2-\int_1^xe^{-a t}f(t)dt\right)$. En faisant la différence des deux, on a alors $y_1(x)-y_2(x)=(K_1-K_2)e^{ax}$. Or la différence deux fonctions bornées est bornée, donc $y_1-y_2$ doit être bornée sur $I$ et ceci n'est possible que si $K_1=K_2$, d'où le résultat.
c) Vérifier que l'intégrale $\int_1^{+\infty}e^{-a t}f(t)dt$ est convergente.
$f$ est bornée donc il existe $M>0$ tel que $|f|\leq M$. On a donc $|e^{-ax}f(x)|\leq Me^{-ax}$ et on conclut par comparaison et le fait que la convergence absolue implique la convergence.
d) Démontrer que $g:x\mapsto e^{a x}\int_x^{+\infty}e^{-a t}f(t)dt$ est l'unique solution de $\left( E_f\right)$ qui soit bornée sur $I$.
D'abord en écrivant $g$ sous la forme $e^{ax}\left(\int_1^{+\infty}e^{-at}f(t)dt-\int_1^xe^{-at}f(t)dt\right)$, on montre d'après a) que $g$ est solution de $(E_f)$. D'autre part, en utilisant le fait que $f$ est bornée on a la majoration suivante : $$|g(x)|\leq e^{ax}\int_x^{+\infty}e^{-at}|f(t)|dt\leq M e^{ax}\int_x^{+\infty}e^{-at}dt=\frac{M}{a}.$$ Et donc $g$ est bornée.
Dans toute la suite du problème, si $f\in E$, on note $U(f)$ la fonction $g$ obtenue à la question d).
2. Linéarité de U
a) Expliciter $U(f)$ dans le cas où $f=1$.
$U(1)=\frac{1}{a}$
b) Montrer que $U$ est un endomorphisme de $E$.
La linéarité résulte de la linéarité des intégrales convergentes. Reste à voir que si $f\in E$ alors $U(f)\in E$ pour que ce soit un endomorphisme. La continuité résulte facilement de l'écriture $U(f)=e^{ax}\left(\int_1^{+\infty}e^{-at}f(t)dt-\int_1^xe^{-at}f(t)dt\right)$ et l'aspect borné de la question 1.d).
c) $U$ est-il injectif?
Si $U(f)=0$, comme $U(f)$ est solution de $(E_f)$, en remplaçant $y$ par $U(f)=0$ dans $(E_f)$, on trouve $f=0$. On a donc $Ker(U)=\{0\}$, $U$ est injective.
d) On définit les puissances successives de $U$ par $U^0=Id_E$, et pour tout entier naturel $n$ non nul, $U^n=U^{n-1}\circ U$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U^{n+1}(f)$ est la fonction : $x\mapsto e^{a x}\int_x^{+\infty}\frac{(t-x)^n}{n!}e^{-a t}f(t)dt$.
On raisonne par récurrence. L'initialisation est évidente. On suppose que la formule $U^{n+1}(f)(x)=e^{ax}\int_x^{+\infty}\frac{(t-x)^n}{n!}e^{-a t}f(t)dt$ est vraie et on veut montrer que la formule est vraie pour $U^{n+2}(f)$. On observe que $U^{n+2}(f)=U(U^{n+1}(f))$, donc pour montrer que la formule soit vraie au rang $n+2$, il suffit de vérifier que $e^{ax}\int_x^{+\infty}\frac{(t-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt$ est bornée et solution de l'équation différentielle : $$y'(x)-ay(x)+e^{ax}\int_x^{+\infty}\frac{(t-x)^n}{n!}e^{-a t}f(t)dt=0.$$ Pour le caractère borné, on utilise le fait que $f$ est bornée. Pour l'équation différentielle, pour dériver proprement la fonction, on écrira : $$\begin{align} e^{ax}\int_x^{+\infty}\frac{(t-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt&=e^{ax}\left(\int_1^{+\infty}\frac{(t-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt-\int_1^{x}\frac{(t-x)^{n+1}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt\right)\\ &=e^{ax}\left(\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n}{k}(-x)^k\int_1^{+\infty}\frac{t^{n+1-k}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt-\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n}{k}(-x)^k\int_1^{x}\frac{t^{n+1-k}}{(n+1)!}e^{-a t}f(t)dt\right) \end{align}$$ et on n'oubliera pas que la dérivée de $\int_a^x\psi(t)dt$ avec $\psi$ continue est $\psi(x)$.
3. Cas des fonctions exponentielles
a) Pour $k$ un nombre réel positif et $f_k$ la fonction $x\mapsto e^{-kx}$, expliciter $U(f_k)$.
$$U(f_k)=e^{ax}\int_x^{+\infty}e^{-at}e^{-kt}dt=\frac{e^{-kx}}{a+k}.$$
b) En déduire que, pour tout réel $\lambda\in\left]0,\frac{1}{a}\right]$, $Ker\left(U-\lambda id_E\right)\neq\{0\}$.
D'après la question précédente $U(f_k)=\frac{1}{a+k}f_k$, soit encore $\left(U-\frac{1}{a+k}id_E\right)(f_k)=0$ donc la fonction $f_k$ est dans $Ker\left(U-\frac{1}{a+k}id_E\right)$ et $Ker\left(U-\frac{1}{a+k} id_E\right)\neq\{0\}$. D'autre part lorsque $k$ parcours $[0,+\infty[$, $\frac{1}{a+k}$ parcours $\left]0,\frac{1}{a}\right]$ ce qui répond à la question.
c) Pour tout entier naturel $n$, expliciter $U^n(f_k)$. Pour $x$ élément de $I$, préciser $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[U^n(f_k)\right](x)$.
Comme $U(f_k)=\frac{1}{a+k}f_k$, par linéarité de $U$ on a $U^n(f_k)=\frac{1}{(a+k)^n}f_k$. Pour la limite, on distinguera les cas $a+k>1$, $a+k=1$ et $a+k<\ 1$.
4. Cas des fonctions sinus et cosinus
Dans cet exemple seulement (ensemble de la question I-4), on prendra $a=1$.
a) Expliciter $U(sin)$ et $U(cos)$.
Pour le calcul de $U(\sin)$, on se ramène à une intégrale finie puis on effectue deux intégrations successives : $$\begin{align} \int_x^Ae^{-t}\sin(t)dt &=\left[-e^{-t}\sin(t)\right]_x^A+\int_x^Ae^{-t}\cos(t)dt\\ &=-e^{-A}\sin(A)+e^{-x}\sin(x)+\left[-e^{-t}\cos(t)\right]_x^A-\int_x^Ae^{-t}\sin(t)dt\\ &=-e^{-A}\sin(A)+e^{-x}\sin(x)-e^{-A}\cos(A)+e^{-x}\cos(x)-\int_x^Ae^{-t}\sin(t)dt \end{align}.$$ Puis en faisant tendre $A$ vers l'infini, on trouve que $U(\sin)=\sin(x)+\cos(x)-U(\sin)$, puis en résolvant, on trouve : $U(\sin)=\frac{1}{2}\left(\sin(x)+\cos(x)\right)$. En raisonnant de la même façon, on trouve : $U(\cos)=\frac{1}{2}\left(\cos(x)-\sin(x)\right)$
b) Montrer que le sous-espace $P$ de $E$ engendré par les fonctions $sin$ et $cos$ est stable par $U$ et que $(sin,cos)$ en est une base. Dans cette base, écrire la matrice $M$ de l'endomorphisme $$U_p:\begin{cases}P\to P\\ f\mapsto U(f)\end{cases}.$$
$U(\sin)$ et $U(\cos)$ sont combinaisons linéaires de $\cos$ et $\sin$ donc sont dans $E$. $E$ est donc stable pas $U$. $\sin$ et $\cos$ engendrent $E$, il reste donc à prouver qu'ils forment une famille libre pour que se soit une base. Or on a que pour tous $\lambda,\mu\in\mathbb R$ $$\begin{align} \lambda\cos+\mu\sin=0&\Longleftrightarrow \forall x\in I,\lambda\cos(x)+\mu\sin(x)=0\\ &\Longrightarrow \lambda\cos(\pi)+\mu\sin(\pi)=0\text{ et }\lambda\cos(\pi/2)+\mu\sin(\pi/2)=0\\ &\Longrightarrow \lambda=\mu=0. \end{align}$$ Enfin grâce aux calculs de $U(\cos)$ et $U(\sin)$, la matrice de U dans cette base est : $$M=\begin{pmatrix} 1/2 & -1/2\\ 1/2 &1/2 \end{pmatrix}.$$
c) Calculer $M^2$, $M^3$, $M^4$. Expliciter $M^n$ pour tout entier naturle $n$, puis préciser la limite des coefficients de $M^n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
$$M^2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\ M^3=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 1 & -1\end{pmatrix},\ M^4=-\frac{1}{2^3}I.$$ Soit maitenant un $n$ quelconque, en faisant une division Euclidienne par 4, on peut toujours l'écrire comme $n=4p+r$ avec $0\leq r\leq 3$, de sorte que : $$M^n=M^{4p+r}=(M^4)^pM^r=\frac{1}{(-2)^{3p}}M^r.$$ En faisant tendre $n$ vers l'infini, $p$ tend également vers l'infini et donc tous les coefficients de $M^n$ tendent vers l'infini.
5. Une autre famille de fonctions
Pour tout entier naturel non nul, on considère la fonction de $E$ $\varphi_n:x\mapsto e^{-x}x^n$ et on note $\psi_n$ la fonction $U(\varphi_n)$.
a) Pour $n$ un entier naturel non nul, établir une relation entre $\psi_n$, $\varphi_n$ et $\psi_{n-1}$.
A l'aide d'une intégration par parties, on montre que $$\int_x^{+\infty}e^{-t}t^ne^{-at}dt=\frac{1}{a+1}x^ne^{-(a+1)x}+\frac{n}{a+1}\int_x^{+\infty}t^{n-1}e^{-(a+1)t}dt.$$ On en déduit alor que $\psi_n=\frac{1}{a+1}\varphi_n+\frac{n}{a+1}\psi_{n-1}$.
b) Pour $p$ entier naturel, montrer que le sous espace $F_p$ de $E$ engendré pas $\left(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_p\right)$ est stable par $U$ et admet pour base $\left(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_p\right)$.
Pour la stabilité, on montre par récurrence que $U(\varphi_n)$ appartient à $F_p$ avec $n\geq p$. Pour montrer que $\left(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_p\right)$ est une base, on sait déjà que c'est une famille génératrice, il reste alors à prouver que c'est une famille libre. Soient alors $\lambda_0,\dots,\lambda_p$ dans $\mathbb R^n$, on a : $$\begin{align} \lambda_0\varphi_0+\dots+\lambda_p\varphi_p=0&\Longleftrightarrow \forall x\in I,\lambda_0\varphi_0(x)+\dots+\lambda_p\varphi_p(x)=0\\ &\Longleftrightarrow \forall x\in I,\lambda_0+\lambda_1x+\dots+\lambda_px^p=0. \end{align}.$$ Maintenant on prendra garde de ne pas conclure en utilisant le fait que l'on reconnait la base cacnonique de l'espace des polynômes car ces fonctions sont définies uniquement sur $I$ et pas sur $\mathbb R$. Une façon simple de conclure est la suivante. La dernière inégalité est équivalente à : $$\forall x\in I,\lambda_0x^{-p}+\lambda_1x^{-p+1}+\dots+\lambda_p=0,$$ donc en faisant tendre $x$ vers l'infini, on trouve $\lambda_p=0$. Il nous reste alors : $$\forall x\in I,\lambda_0\varphi_0(x)+\dots+\lambda_{p-1}\varphi_{p-1}(x)=0,$$ et on réitère la même astuce que précédemment.
c) On prend ici $p=2$, écrire dans la base $\left(\varphi_0,\varphi_1,\varphi_2\right)$ de $F_2$ la matrice $T_2$ de l'endomorphisme $U_2:\begin{cases}F_2\to F_2\\f\mapsto U(f)\end{cases}$. Calculer $T_2^n$ pour tout entier naturel $n$, puis préciser la limite des coefficients de $T_2^n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
D'après 3.a), on a $U(\varphi_0)=\frac{\varphi_0}{a+1}$ et d'après 5.a) $$U(\varphi_1)=\frac{1}{a+1}\varphi_1+\frac{1}{a+1}U(\varphi_0)=\frac{1}{a+1}\varphi_1+\frac{1}{(a+1)^2}\varphi_0.$$ $$U(\varphi_2)=\frac{1}{a+1}\varphi_2+\frac{1}{a+1}U(\varphi_1)=\frac{1}{a+1}\varphi_2+\frac{1}{(a+1)^2}\varphi_1++\frac{1}{(a+1)^3}\varphi_0.$$ La matrice de $U_2$ est donc : $$T_2=\begin{pmatrix} \frac{1}{a+1} & \frac{1}{(a+1)^2} & \frac{1}{(a+1)^3}\\ 0 & \frac{1}{a+1} & \frac{1}{(a+1)^2}\\ 0 & 0 & \frac{1}{a+1} \end{pmatrix}.$$ Pour la calcul de $T_2^n$, on décompose $T_2$ de la façon suivante $T_2=\frac{1}{a+1}I+N$, où on a posé $$N=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{(a+1)^2} & \frac{1}{(a+1)^2}\\ 0 & 0 & \frac{1}{(a+1)^2}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ On montre facilement que $N^3=0$ et comme $N$ commute avec $I$, on peut appliquer la formule du binome de Newton aux matrices : $$T_2^n=\left(\frac{1}{a+1}I+N\right)^n=\frac{1}{(a+1)^n}I+\binom{n}{1}\frac{1}{(a+1)^{n-1}}N+\binom{n}{2}\frac{1}{(a+1)^{n-2}}N^2.$$ Après calcul on trouve alors : $$T_2^n= \begin{pmatrix} \frac{1}{(a+1)^n} & \frac{n}{(a+1)^{n+1}} & \frac{n(n-1)}{2(a+1)^{n+2}}\\ 0 & \frac{1}{(a+1)^n} & \frac{n}{(a+1)^{n+1}}\\ 0 & 0 & \frac{1}{(a+1)^n} \end{pmatrix}.$$ Enfin en passant à la limite en $n$, tous les coefficients de la matrice tendent vers 0 (on pourra pour le voir utiliser le fait que $(a+1)^n=e^{n\ln(a+1)}$ et de la croissance comparée).
6. Une autre expression de $U(f)$
Pour $f\in E$, montrer que : $\forall x\in I,\ U(f)(x)=\int_0^{+\infty}e^{-a t}f(x+t)dt$.
On effectuera le changement de variable $y=t-x$ dans l'expression de $U$.
7. Positivité de $U$
a) Pour $f\in E$, montrer que : $|U(f)|\leq U(|f|)$.
On utilise l'inégalité triangulaire : $$|U(f)|=\left|\int_0^{+\infty}e^{-a t}f(x+t)dt\right|\leq\int_0^{+\infty}e^{-a t}|f|(x+t)dt=U(|f|).$$
On considère maintenant $\varphi$ un élément de $E$ à valeurs positives et $\psi=U(\varphi)$.
b) Montrer que $\psi$ est à valeurs positives.
Utiliser la positivité des intégrales.
c) On suppose que $\varphi$ est décroissante. Montrer que $a\psi\leq \varphi$ puis que $\psi$ est décroissante.
Par décroissance de $\varphi$, on : $$\psi(x)=U(\varphi)(x)\leq\int_0^{+\infty}e^{-a t}\varphi(x+t)dt\leq\varphi(x)\int_0^{+\infty}e^{-a t}dt\leq\varphi(x)\frac{1}{a},$$ d'où l'inégalité. Pour la décroissance de $\psi$, on se souvient que $\psi$ est solution de $\psi'=a\psi-\varphi$, or l'inégalité établié précédemment nous montre que $\psi'\leq 0$. $\psi$ est donc décroissante.
8. Commutation de $U$ avec la dérivation
On note $E_1=\left\lbrace f\in E\cap C^1(I,\mathbb R)/f'\text{ bornée sur }I\right\rbrace$ et $D$ l'opérateur de dérivation qui, à tout élément de $E_1$, associe sa dérivée.
a) Pour $f$ un élément de $E_1$, montrer, en utilisant la question 6, que : $aU(f)=f+U(f')$.
On effectuera une intégration par partie à l'aide de la formule de la question 6.
b) En déduire que, pour tout élément $f$ de $E_1$, $D(U(f))=U(D(f))$.
Il suffit de se souvenir que $U(f)$ est solution de l'équation différentielle $(U(f))'=aU(f)-f$ et d'utiliser la formule établie en 8.a).
c) Pour $f$ une fonction de $E_1$ à valeurs positives et décroissante, retrouver le résultat de la question 7.c) : $U(f)$ est décroissante.
$f$ est décroissante donc $f'$ est une fonction négative et $-f'$ est positive. Or d'après 7.a) $U(-f')$ est positive et $U(f')$ négative. Enfin d'après 8.b) $U(f')=(U(f))'$ donc $U(f)$ est décroissante.
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