Soit $n$ un entier naturel non nul. Une entreprise dispose d'un lot du $n$ feuilles originales qu'elle a numérotées $1,\ 2,\ \cdots ,\ n.$ Elle photocopie ces $n$ feuilles originales et souhaite que chaque original soit agrafé avec sa copie. L'entreprise programme le photocopieur afin que chaque original soit agrafé avec sa copie. Cependant, suite à un défaut informatique, la photocopieuse a mélangé les originaux et les copies. L'entreprise décide donc de placer les $n$ originaux et les $ n$ copies dans une boite. Une personne est alors chargée du travail suivant : elle pioche simultanément et au hasard 2 feuilles dans la boite. S'il s'agit d'un original et de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon, elle repose les deux feuilles dans la, boite et elle recommence.
On modélise l'expérience par un espace probabilité $\left( \Omega ,\mathcal{B},P\right) $. Soit $T_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de pioches qui sont nécessaires pour vider la boite lorsque celle-ci contient $n$ originaux et $n$ copies (soit $2n$ feuilles).
On considère l'événement $A_{n}$ : "à l'issue de la première pioche, les deux feuilles piochées ne sont pas agrafées " et $a_{n}$ sa probabilité c'est-à-dire que $a_{n}=P\left( A_{n}\right) $.
1. Calculer $a_{n}$.
Il y a $n^2$ tirages possibles et seulement $n$ qui donnent l'original et la copie conforme donc $$a_n=\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}.$$
2. Etude de $T_{2}$. On suppose dans cette question que $ n=2$, c'est-à-dire que la boite contient deux originaux et deux copies.
a) Montrer que pour tout entier $k\geq 2:P\left( T_{2}=k\right) =\left( 1-a_{2}\right) \left( a_{2}\right) ^{k-2}.$
Il faut comprendre que dès qu'on a réussi à tirer deux copies conformes, il restera alors dans la boite les deux copies conformes suivantes. Par conséquent l'évènement $T_2=k$ revient à avoir échoué à tirer des copies conformes pendant les $k-2$ premiers tirages (de proba $a_2$) puis à avoir réussi à tirer desux copies conformes au temps $k-1$ (de proba $a_2$) et au temps $k$ (de proba 1). On a alors par la formule des proba composées $$P(T_2=k)=(a_2)^{k-2}\times (1-a_2)\times 1$$
b) Justifier que la variable $S_{2}=T_{2}-1$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
En déduire l'espérance et la variance de $T_{2}$ en fonction de $ a_{2}$
On a $P(S_2=k)=P(T_2=k+1)=(1-a_2)a_2^{k-1}$. Donc $S_2$ suit une loi géométrique de paramètre $a_2$. $E(T_2)=E(S_2+1)=\frac{1}{a_2}+1$ et $V(T_2)=V(S_2)=\frac{1-a_2}{a_2^2}$.
3. Etude de $T_{3}$. On suppose dans cette question que $ n=3$, c'est-à-dire que la boite, contient trois originaux et trois copies.
a) Calculer $P\left( T_{3}=2\right) $ puis $P\left( T_{3}=3\right) $ en fonction de $a_{2}$ et $a_{3}$
Puisqu'il y a trois feuilles $P(T_3=2)=0$. Tandis que $T_3=3$ correspont à avoir tiré du premier coup toutes les bonnes copies. Donc $$P(T_3=3)=a_3a_2.$$
b) A l'aide du système complet d'événements $\left( A_{3}, \overline{A_{3}}\right) $ démontrer pour tout $k\geq 2$ que : $$ P\left( T_{3}=k+1\right) =\left( 1-a_{3}\right) P\left( T_{2}=k\right) +a_{3}P\left( T_{3}=k\right) $$
Par la formule des proba totales on a $$P(T_3=k+1)=P_{A_3}(T_3=k+1)P(A_3)+P_{\bar A_3}(T_3=k+1)P(\bar A_3)=P_{A_3}(T_3=k+1)a_3+P_{\bar A_3}(T_3=k+1)(1-a_3).$$ Maintenant si $A_3$ est réalisé (les premières feuilles ne sont pas bonnes) tout se passe comme si on recommençait depuis le début en décalant dans le temps donc $P_{A_3}(T_3=k+1)=P(T_3=k)$. De même si $A_3$ n'est pas réalisé, les deux premières feuilles sont bonnes et à partir de ce moment là tout se passe comme ci on avait $n=2$ donc $P_{\bar A_3}(T_3=k+1)=P(T_2=k)$. Donc $$ P\left( T_{3}=k+1\right) =\left( 1-a_{3}\right) P\left( T_{2}=k\right) +a_{3}P\left( T_{3}=k\right) $$ d'où le résultat.
c) Montrer que : $$ k\geq 2,\quad P\left( T_{3}=k\right) =\frac{\left( 1-a_{2}\right) \left( 1-a_{3}\right) }{a_{3}-a_{2}}\left[ \left( a_{3}\right) ^{k-2}-\left( a_{2}\right) ^{k-2}\right] . $$
Grâce à 2.a) on a $$ P\left( T_{3}=k+1\right) =\left( 1-a_{3}\right) (1-a_2)a_2^{k-2} +a_{3}P\left( T_{3}=k\right) $$ puis on démontre la formule recherchée par récurrence.
d) Calculer $\displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty }P\left( T_{3}=k\right).$
En reconnaissant des séries géométriques on a $$\sum_{k=2}^{+\infty }P\left( T_{3}=k\right)=\frac{\left( 1-a_{2}\right) \left( 1-a_{3}\right) }{a_{3}-a_{2}}\left[ \frac{1}{1-a_3}-\frac{1}{1-a_2}\right]=1 $$
e) Prouver que la variable aléatoire $T_{3}-1$ admet une espérance et calculer $E\left( T_{3}-1\right) $.
Donner la valeur de $E\left( T_{3}\right) $ en fonction de $a_{2}$ et $a_{3}$.
Par la formule de transfert il faut calculer $$\sum_{k=2}^{+\infty}(k-1)P(T_3=k)=\frac{\left( 1-a_{3}\right) }{a_{3}-a_{2}}\sum_{k=2}^{+\infty}(k-1)\left[ \frac{1}{1-a_3}-\frac{1}{1-a_2}\right]$$ En reconnaissant des séries géométriques dérivées, on peut affirmer que cette série converge et donc que l'espérance existe. Puis à l'aide de manipulations sur les sommes on en déduit que $$E(T_3)=\frac{2-a_2-a_3}{(1-a_3)(1-a_2)}+1$$
f) Etablir que la variable aléatoire $T_{3}\left( T_{3}-1\right) $ admet une espérance et donner sa valeur en fonction de $a_{2}$ et $a_{3}$ .
En déduire que $T_{3}$ admet une variance.
De la même manière que dans la question précédente, $T_3(T_3-1)$ admet une espérance en reconnaissant une série géométrique dérivées deux fois. Comme $T_3$ admet une espérance, on en déduit que $T_3^2$ admet une espérance et donc $T_3$ admet une variance.
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