Il s'agit d'un sujet technique et alambiqué. Idéal pour travailler les problèmes de convergences d'intégrales. Malheureusement le sujet manque à certains moment de clarté. Ainsi dans la partie II la phrase "$X_\alpha$ est indépendante de chacune des variables $(Y_k)_k$" pourrait laisser croire que les variables sont deux à deux indépendantes. Or ce n'est pas le cas, il faut en fait comprendre : "les variables aléatoires $X_\alpha,\ (Y_k)_{k}$ sont indépendantes."
On prendra garde à bien vérifier les convergences des intégrales généralisées. On se souviendra aussi que l'espérance d'une variables aléatoires continue existe s'il y a convergence de $\int |x|f(x)dx$. On n'oubliera pas non plus d'invoquer systématiquement l'indépendance des variables aléatoires pour utiliser le produit de convolution (ça ne marche pas sinon).
Dans tout le problème :
On rappelle ou on admet sans démonstration les résultats suivants :
L'objet du problème est de démontrer quelques propriétés de la fonction $\Gamma$ en utilisant des méthodes essentiellement probabilistes.
1. On pose pour tout n de $\mathbb N^*$ : $\displaystyle h_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$. On considère les deux suites $(\gamma _n)_{n\geq 1}$ et $(v_n)_{n\geq 1}$ définies par : pour tout n de $\mathbb N^*$, $\gamma_n=h_n-\ln n$ et $v_n=\gamma_{n+1}-\gamma_n$.
a) Montrer que la série de terme général $v_n$ est convergente.
Par calcul, on a : $$v_n=\gamma_{n+1}-\gamma_n=\frac{1}{n+1}-\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\overset{+\infty}{\sim}\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\overset{+\infty}{\sim}-\frac{1}{n^2}.$$ Et on conclue facilement en utilisant le fait que $\sum\frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente.
b) En déduire la convergence de la suite $(\gamma_n)_{n\geq 1}$; on note $\gamma$ sa limite.
$\sum_{k=1}^nv_n$ est une somme téléscopique et vaut $\gamma_{n+1}-\gamma_1$. Or la série $\sum v_n$ converge, donc $\gamma_n$ aussi.
c) On pose pour tout réel $t>0$ : $d_{n,t}=\gamma+\ln(t+n)-h_n$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to\infty}d_{n,t}$.
Un petit calcul donne $d_{n,t}=\gamma-\gamma_n+\ln\left(1+\frac{t}{n}\right)$ qui tend vers 0.
2.a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de $E(X_t)$ et $V(X_t)$.
Une loi gamma de paramètre t a pour espérance $\frac{1}{t}$ et pour variance $\frac{1}{t^2}$.
b) On note pour tout réel $t>0$, $\psi(t)=\Gamma'(t)/\Gamma(t)$, et $\psi'$ la dérivée de $\psi$. Montrer que $E(\ln(X_t))=\psi(t)$ et $V(\ln(X_t))=\psi'(t)$.
Grâce à la formule de transfert, on a : $$E(\ln(X_t))=\frac{1}{\Gamma(t)}\int_{-\infty}^{+\infty}\ln(x)e^{-x}x^{t-1}dx=\frac{\Gamma'(t)}{\Gamma(t)}=\psi(t).$$ On calculera de même la variance à l'aide de la formule de transfert pour établir l'autre égalité.
3.a) Montrer que pour tout réel $t>1$, $E(1/X_t)$ existe et calculer sa valeur.
Toujours grâce à la formule de transfert : $$E\left(\frac{1}{X_t}\right)=\frac{1}{\Gamma(t)}\int_0^{+\infty}e^{-x}x^{t-2}dx,$$ qui est une intégrale convergente pour $t>1$. D'autre part cette dernière intégrale vaut $\frac{\Gamma(t-1)}{\Gamma(t)}=\frac{\Gamma(t-1)}{(t-1)\Gamma(t-1)}=\frac{1}{t-1}$.
b) Etablir pour tout réel $x>0$, l'encadrement : $1-\frac{1}{x}\leq\ln x\leq x-1$.
On étudiera par exemple les fonctions $x\mapsto \ln x-1+\frac{1}{x}$ et $x\mapsto \ln x-x+1$ à l'aide de tableaux de variations.
En déduire que l'on a : $(\ln x)^2\leq\left(1-\frac{1}{x}\right)^2+(x-1)^2$.
On prendra garde que $\ln$ change de signe. Si $x\geq 1$, $\ln x\geq 0$ donc $(\ln x)^2\leq(x-1)^2\leq(x-1)^2+(\frac{1}{x}-1)^2$. Si maintenant $x\leq 1$, $0\leq-\ln x\leq\frac{1}{x}-1$ et $(\ln x)^2\leq(\frac{1}{x}-1)^2\leq(x-1)^2+(\frac{1}{x}-1)^2$.
c) A l'aide des question précédentes, établir les inégalités suivantes : pour tout réel $t>0$, $E\left(\ln\left(\frac{X_t}{t}\right)\right)\leq 0$; pour tout réel $t>1$, $E\left(\ln\left(\frac{X_t}{t}\right)\right)\geq -\frac{1}{t-1}$, pour tout réel $t>2$, $E\left(\ln^2\left(\frac{X_t}{t}\right)\right)\leq\frac{2t}{(t-2)^2}$.
On sait que $\ln x\leq x-1$, donc par croissance et linéarité de l'espérance $$E\left(\ln\left(\frac{X_t}{t}\right)\right)\leq E\left(\frac{X_t}{x}-1\right)=\frac{1}{t}E(X_t)-1=\frac{1}{t^2}-1\leq 0.$$ Les deux autres inégalités s'obtiennent de la même façon en utilisant les inégalités établies en b.
d) Soit t un réel fixé strictement positif. Montrer que la suite de variables aléatoires $\left(\ln\left(\frac{X_{t+n}}{t+n}\right)\right)_{n\geq 1}$ converge en probabilité vers 0.
On utilise l'inégalité de Markov : $$P\left(\left|\ln\left(\frac{X_{t+n}}{t+n}\right)\right|>\epsilon\right)=P\left(\left|\ln\left(\frac{X_{t+n}}{t+n}\right)\right|^2>\epsilon^2\right)\leq \frac{1}{\epsilon^2}E\left(\ln^2\left(\frac{X_{t+n}}{t+n}\right)\right)\frac{1}{\epsilon^2}\frac{2(t+n)}{(t+n-2)^2}\overset{+\infty}{\longrightarrow}0.$$ Il y a donc bien convergence en proba vers 0.
4. Soit $(A_n)_{n\geq 1}$, $(B_n)_{n\geq 1}$ et $(C_n)_{n\geq 1}$, trois suites de variables aléatoires à densité qui convergent en probabilité vers 0. On pose pour tout n de $\mathbb N^*$ : $D_n=A_n+B_n+C_n$. Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle qui converge vers u. On considère deux variables aléatoires réelles à densité M et N telles que pour tout n de $\mathbb N^n$, M est de même loi que $N+D_n+u_n$.
a) Montrer que pour tout réel $\epsilon>0$, l'inclusion : $\left[|D_n|>\epsilon\right]\subset\left[|A_n|>\epsilon/3\right]\cup\left[|B_n|>\epsilon/3\right]\cup\left[|C_n|>\epsilon/3\right]$.
En déduire que la suite $(D_n)_{n\geq 1}$ converge en probabilité vers 0.
On observe d'abord grâce à l'inégalité triangulaire que : $$|A_n|+|B_n|+|C_n|\geq|A_n+B_n+C_n|=|D_n|.$$ Donc $|D_n|>\epsilon\Rightarrow |A_n|+|B_n|+|C_n|>\epsilon$. D'autre part les trois termes ne peuvent pas tous être plus petit que $\epsilon/3$ sinon la somme serait inférieure ou égale à trois. Il suit que : $$|D_n|>\epsilon\Rightarrow |A_n|>\epsilon/3\text{ ou }|B_n|>\epsilon/3\text{ ou }|C_n|>\epsilon/3.$$ L'implication se traduisant en inclusion et le "ou" en union, on en déduit l'inclusion recherchée. Enfin grâce à la propriété $P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)$ et la propriété $A\subset B\Rightarrow P(A)\leq P(B)$, on a que : $$P(|D_n|>\epsilon)\leq P(|A_n|>\epsilon/3)+P(|B_n|>\epsilon/3)+P(|C_n|>\epsilon/3),$$ Or chacun des trois termes de droite tend vers 0 par convergence en proba donc $D_n$ tend vers 0 en proba.
b) On pose pour tout n de $\mathbb N^*$ : $V_n=D_n+u_n-u$. Montrer que la suite de variables aléatoires $(V_n)_{n\geq 1}$ converge en probabilité vers 0. En déduire la limite en probabilité de la suite $((N+u)+V_n)_{n\geq 1}$.
On peut raisonner comme dans la question précédente, c'est à dire on a l'inclusion suivante : $$\left[|V_n|>\epsilon\right]\subset\left[|D_n|>\epsilon\right]\cup\left[|u_n-u|>\epsilon\right].$$ Comme $u_n$ tend vers u, pour n suffisemment grand l'évènement $\left[|u_n-u|>\epsilon\right]$ est vide donc de proba nulle et on a : $$P(|V_n|>\epsilon)\leq P(|D_n|>\epsilon).$$ Enfin on conclut avec le fait qu'on a montré que $D_n$ tend vers 0 en proba. Enfin on a que : $$P\left(\left|(N+u+V_n)-(N+u)\right|>\epsilon\right)=P(|V_n|>\epsilon)\overset{+\infty}{\longrightarrow}0,$$ par convergence vers 0 en proba de $V_n$. Il suit que $N+u+V_n$ tend vers $N+u$ en proba.
c) On admet sans démonstration que la convergence en probabilité entraine la convergence en loi. Montrer que les variables aléatoires M et N+u sont de même loi.
On a $N+u+V_n=N+D_n+u_n$ qui a même loi que $M$ et comme la convergence en proba implique la convergence en loi, le résultat découle de b.
5. Soit $(\alpha,\beta)$ un couple de réels strictement positifs, et $X_\alpha$ et $X_\beta$ deux variables indépendantes de lois respectives $\gamma_\alpha$ et $\gamma_\beta$. On pose : $T_{\alpha,\beta}=\frac{X\alpha}{X_\beta}$, $Q_{\alpha,\beta}=\ln(T_{\alpha,\beta})$ et $B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$.
a) Préciser $Q_{\alpha,\beta}(\Omega)$. Déterminer une densité de $\ln(X_\alpha)$ et de $-\ln(X_\beta)$ respectivement.
Comme une loi gamma prend ses valeurs dans $\mathbb R^+$, $T_{\alpha,\beta}$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^+$. Enfin $\ln:\mathbb R^+\to\mathbb R$ donc $Q_{\alpha,\beta}(\Omega)=\mathbb R$. Pour une densité de $\ln X_\alpha$, on calcule d'abord la fonction de répartition : $$P(\ln X_\alpha<\!x)=P(X_\alpha<\! e^x)=F_{X_\alpha}(e^x),$$ puis on la dérive. On trouve alors : $$f_{\ln X_\alpha}(x)=\left(P(X_\alpha<\! e^x)\right)'=e^x\frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{e^{x}}e^{x\alpha-x}=\frac{e^{-e^x}e^{\alpha x}}{\Gamma(\alpha)}.$$ De même on a : $$P(-\ln X_\beta<\!x)=P(X_\beta> e^{-x})=1-F_{X_\beta}(x).$$ Puis en dérivant, on trouve : $$f_{-\ln X_\beta}(x)=\frac{e^{e^{-x}}e^{-\beta x}}{\Gamma(\beta)}.$$
b) En déduire qu'une densité $f_{Q_{\alpha,\beta}}$ de $Q_{\alpha,\beta}$ est donnée par : pour tout réel x, $$f_{Q_{\alpha,\beta}}(x)=\frac{e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{(\alpha+\beta)y}\exp\left(-e^y(1+e^{-x})\right)dy.$$
Il suffit de se souvenir que si X et Y sont deux variables indépendantes de densité $f_X$ et $f_Y$, alors la densité de $X+Y$ est le produit de convolution : $$f_{X+Y}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x-t)f_Y(t)dt,$$ et de remarquer que $Q_{\alpha,\beta}=\ln X_\alpha+(-\ln X_\beta)$.
c) A l'aide du changement de variable $u=e^y(1+e^{-x})$, dont on justifiera la validiré, établir la formule suivante : pour tout x réel, $f_{Q_{\alpha,\beta}}=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\times\frac{e^{\alpha x}}{(1+e^x)^{\alpha+\beta}}$.
On n'oubliera pas que pour les intégrales impropres, il faut s'assurer que le changement de variable est de classe $C^1$ strictement monotone. Ici l'application $y\mapsto e^{y}(1+e^{-x})$ est $C^1$ strictement croissante de $\mathbb R$ dans $\mathbb R^+$ donc les nouveaux bords de l'intégrale seront $\int_0^{+\infty}$. Après le changement de variable, c'est un petit calcul!
d) En déduire une densité $f_{T_{\alpha,\beta}}$ de $T_{\alpha,\beta}$.
On raisonne encore avec les fonctions de répartitions en n'oubliant pas que $T_{\alpha,\beta}$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^+$ et on trouve : $$f_{T_{\alpha,\beta}}(x)=\begin{cases}& 0\text{ si }x\leq 0\\ & \frac{x^{\alpha-1}}{B(\alpha,\beta)(1+x)^{\alpha+\beta}}\text{ si }x>0\end{cases}$$
e) On pose : $J_{\alpha,\beta}=\frac{X_\alpha}{X_\alpha+X_\beta}$. Montrer qu'une densité de $J_{\alpha,\beta}$ est donnée par : $$f_{\alpha,\beta}(z)=\begin{cases}& 0 \text{ si }z\not\in ]0,1[\\ & \frac{1}{B(\alpha,\beta)}z^{\alpha-1}(1-z)^{\beta-1} \text{ si } z\in ]0,1[\end{cases}.$$
On observe d'abord que $J_{\alpha,\beta}$ est à valeurs dans $]0,1[$. Ensuite, calcule la fonction de répartion, pour tout $x\in]0,1[$ : $$P(J_{\alpha,\beta}\geq x)=P\left(\frac{X_\alpha}{X_\alpha+X_\beta}\leq x\right)=P\left(\frac{X_\alpha}{X\beta}\leq\frac{x}{1-x}\right)=F_{T_{\alpha,\beta}}\left(\frac{x}{1-x}\right),$$ puis on procède comme précédemment en dérivant.
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