On s'intéresse dans cette partie à la convergence de $\int_1^{+\infty}\left|\left[U(f)\right](t)\right|dt$ dans le cas où $\int_1^{+\infty}|f(t)|dt$ est elle-même convergente. On note toujours $g=U(f)$.
1. Etudes d'exemples
a) Pour $k$ un réel strictement positif et $f_k:t\mapsto e^{-kt}$, on note $g_k=U(f_k)$. Vérifier que $\int_1^{+\infty}g_k(t)dt$ est convergente.
Utiliser l'expression trouvée dans la partie I.3.a).
b) Pour $\omega$ un réel strictement positif, on note $f_\omega:t\mapsto\frac{1}{t^\omega}$ et $g_\omega=U(f_\omega)$. Pour quelles valeurs de $\omega$, $\int_1^{+\infty}g_\omega(t)dt$ est-elle convergente?
Grâce à l'équivalent établit dans la partie II.3)a), il y a convergence si et seulement si $\omega>1$.
2. Cas des fonctions positives
Dans cette question, $f$ est un élément de $E$, à valeus positives tel que $\int_1^{+\infty}f(t)dt$ est convergente. On note $F:x\in I\mapsto\int_1^xf(t)dt$, $g=U(f)$ et $G:x\in I\mapsto\int_1^xg(t)dt$.
a) Vérifier que $G'-aG=-F+g(1)$.
Par définition $g$ vérifie l'équation différentielle suivante : $g'-ag+f$. En intégrant cette équation entre 1 et $x$, on tombe sur l'équation voulue.
b) Justifier que $F$ est dans $E$ et montrer qu'il existe une constante réelle $K$ telle que, pour tout $x\in I$, $G(x)=Ke^{ax}+\left[U(F)\right](x)-\frac{g(1)}{a}$.
$F$ est une primitive d'un fonction continue donc est continue. D'autre part comme $f$ est positive $F$ est croissante et majorée par $\int_1^{+\infty}f(t)dt$ (qui existe par hypothèse.). Donc $F$ est dans $E$. Quand à l'expression de $G$, il suffit de se rendre compte que $G$ est solution d'une équation différentielle du même type que $g$ (mais avec un $f$ différent) et d'utiliser le résultat établit dans la partie I.1.a).
c) Vérifier que la fonction $x\mapsto\frac{G(x)}{x}$ est bornée sur $I$.
Par construction $g=U(f)$ est bornée donc : $$\left|\frac{G(x)}{x}\right|=\left|\frac{\int_1^xg(t)dt}{x}\right|\leq\frac{\int_1^x|g(t)|dt}{x}\leq\frac{\int_1^xMdt}{x}=M\frac{x-1}{x}\leq M,$$ où $M$ est un majorant de $|g|$. Donc $\frac{G(x)}{x}$ est bornée.
d) En déduire que $K=0$ et que $G=U(F)-\frac{g(1)}{a}$.
D'après 2.b), on a $G(x)=Ke^{ax}+[U(F)](x)-\frac{g(1)}{a}$. On sait que $U(F)$ est bornée par construction, donc si $K$ était non nul, on pourrait montrer que $G(x)/x$ tend vers l'infini pour $x\to+\infty$. Or d'après la question précédente, $G(x)/x$ est bornée ce qui est une contradiction. On a donc $K=0$.
e) Montrer alors que $\int_1^{+\infty}g(t)dt$ est convergente.
D'après la partie II.7.a), $g$ est positive donc $G$ est croissante. D'autre part $G$ est bornée donc admet une limite à l'infini et la réponse suit.
3. Cas général
Dans cette question, $f$ est un élément de $E$ tel que $\int_1^{+\infty}f(t)dt$ est absolument convergente. Montrer que $\int_1^{+\infty}g(t)dt$ est absolument convergente.
On a vu dans la partie II que $|g|=|U(f)|\leq U(|f|)$. D'après ce qu'on vient de montrer $\int_1^{+\infty}U(|f|)(t)dt$ converge, donc par comparaison $\int_1^{+\infty}|g(t)|dt$ aussi.
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