1. Rappeler une densité, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 1.
On considère une suite de variables aléatoires réelles $(X_k)_{k\in\mathbb N^*}$ mutuellement indépendantes, qui suivent la loi exponentielle de paramètre égal à 1.
Densité $\forall x\geq 0,\ f(x)=e^{-x}$ et $0$ sinon. Espérance et variance : $1$.
Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on note $S_n$ la variable aléatoire définie par $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
2. a. Pour tout $n\in\mathbb N^*$, donner l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_n$.
Par linéarité de l'espérance $E(S_n)=\sum_k E(X_k)=n$. Par indépendance des $X_k$, $V(S_n)=\sum_k V(X_k)=n$.
b. Pour tout $n\in\mathbb N^*$, rappeler une densité de $S_n$.
La somme de variables aléatoires exponentielles indépendantes suit une loi gamma dont le paramètre est la somme des paramètres des lois exponentielles. On a donc une densité : $$f(x)=\begin{cases} &\frac{1}{(n-1)!}x^{n-1}e^{-x}\text{ si }x\geq 0\\ &0\text{ sinon.} \end{cases}.$$
3. Soit une variable aléatoire $U$ suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[0;1]$. Montrer que la variable aléatoire $Y=-\ln(1-U)$ suit une loi exponentielle dont on déterminera le parmètre.
Il suffit de prouver que $Y$ a la même fonction de répartition qu'une loi exponentielle. Or pour tout $x\geq 0$, on a $$\begin{align} F_Y(x)&=P(-\ln(1-U)\leq x)\\ &=P(U\leq 1-e^{-x})\\ &=1-e^{-x}. \end{align}$$
4. Ecrire un programme PASCAL, utilisant le générateur aléatoire PASCAL, simulant la variable aléatoire $S_n$, l'entier $n$ étant entré par l'utilisateur.
Il suffit de sommer $n$ loi exponentielle qui, comme on l'a vu dans la question 3., se simulent par $-\ln(1-U)$. Un exemple de programme est alors :
PROGRAM prog (input,output); var S : real; var i : integer; var n : integer; begin readln(n); S := 0; for i := 1 to n do S := S - ln(1-random); writeln(S); end;
5. Pour tout $t\in]0,+\infty[$, on note $N_t$ la variable aléatoire égale à $0$ si l'évènement $(S_1>t)$ est réalisé et, sinon, au plus grand entier $n\in\mathbb N^*$ tel que lévènement $(S_n\leq t)$ est réalisé.
Ainsi, pour tout $t\in]0,+\infty[$, pour tout $n\in\mathbb N^*$, l'évènement $(N_t=n)$ est égal à l'évènement $(S_n\leq t)\cap(S_{n+1}>t)$.
Ecrire un programme PASCAL, utilisant le générateur aléatoire PASCAL, simulant la variable aléatoire $N_t$, le réel $t$ étant entré par l'utilisateur.
PROGRAM prog (input,output); var S : real; var t : real; var i : integer; var n : integer; begin n=0; readln(t); S := -ln(1-random); while t>S do begin repeat n=n+1; S := S - ln(1-random); end; writeln(n); end;
On considère, pour tout $n\in\mathbb N$, les applications : $$f_n:\mathbb R\to\mathbb R,\ x\mapsto\frac{x^ne^{-x}}{n!},$$ $$L_n:\mathbb R\to\mathbb R,\ x\mapsto e^xf_n^{(n)}(x),$$ où $f_n^{(n)}$ désigne la dérivée n-ième de $f_n$.
6. Calculer, pour tout $x\in\mathbb R$, $L_0(x)$, $L_1(x)$, $L_2(x)$.
$$L_0(x)=1,$$ $$L_1(x)=1-x;$$ $$L_2(x)=1-2x+\frac{x^2}{2}.$$
7. Montrer : $$\forall n\in\mathbb N,\forall x\in\mathbb R,\ L_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}x^k.$$
Grâce à la formule de Leibniz on a : $$f_n^{(n)}=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}\frac{1}{n!}(x^n)^{(n-k)}(e^{-x})^{(k)}=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}\frac{1}{k!}x^k(-1)^ke^{-x},$$ puis il ne suffit plus que d'injecter cette expression dans $L_n$.
8. En déduire que, pour tout $n\in\mathbb N$, $L_n$ est une fonction polynomiale dont on précisera le degré et le coefficient du terme de plus haut degrés.
Grâce à l'expression trouvée en 7, $L_n$ est une fonction polynômiale de degrés $n$ de coefficient de plus haut degré $\frac{(-1)^n}{n!}$.
9. Montrer : $$\forall n\in\mathbb N,\forall x\in\mathbb R,\ f'_{n+1}(x)=f_n(x)-f_{n+1}(x).$$
Il suffit de dériver $f_{n+1}.$
10. En déduire : $$\forall n\in\mathbb N,\forall x\in\mathbb R,\ L'_{n+1}(x)=L'_n(x)-L_n(x).$$
Voici une approche possible : En dérivant $n+1$ fois l'équation obtenue en 9, on a : $$f_{n+1}^{(n+2)}=f_n^{(n+1)}-f_{n+1}^{(n+1)}.$$ En dérivant $L_{n+1}$, on trouve : $$L'_{n+1}=e^xf_{n+1}^{(n+1)}+e^xf_{n+1}^{(n+2)},$$ puis en remplaçant le dernier terme à l'aide de l'équation obtenue précédemment on a : $$L'_{n+1}=e^xf_{n+1}^{(n+1)}+e^xf_n^{(n+1)}-e^xf_{n+1}^{(n+1)}=e^xf_n^{(n+1)}.$$ Ensuite en dérivant $L_n$, on a $L'_n(x)=e^xf_n^{(n)}(x)+e^xf_n^{(n+1)}(x)$ et donc : $$L'_{n+1}-L'_n(x)=-e^xf_n^{(n)}(x)=-L_n(x),$$ ce qu'il fallait démontrer.
11. Montrer : $$\ f_{n+1}(x)=\frac{x}{n+1}f_n(x).$$
Il suffit de factoriser par x et d'écrire $(n+1)!=(n+1)n!$ dans l'expression de $f_{n+1}$.
12. En déduire : $$\forall n\in\mathbb N,\forall x\in\mathbb R,\ (n+1)L_{n+1}(x)=xL'_n(x)+(n+1-x)L_n(x).$$
On dérive $n+1$ fois l'équation obtenue en 11 à l'aide de la formule de Leibniz : $$f_{n+1}^{(n+1)}(x)=\frac{1}{n+1}\left(xf_n^{(n+1)}(x)+\begin{pmatrix}n+1\\n\end{pmatrix}f_n^{(n)}(x)\right)=\frac{1}{n+1}\left(xf_n^{(n+1)}(x)+(n+1)f_n^{(n)}(x)\right).$$ En réorganisant et en multipliant par l'exponentielle, on a aussi : $$(n+1)e^xf_{n+1}^{(n+1)}(x)=xe^xf_n^{(n+1)}(x)+(n+1)e^xf_n^{(n)}(x).$$ Mais en observant que $e^xf_n^{(n+1)}(x)=e^x\left(f_n^{(n)}\right)'(x)=\left(e^xf_n^{(n)}\right)-e^xf_n^{(n)}$ et en remplaçant dans l'expression précédente, on tombe sur l'expression à trouver.
13. Etablir : $$\forall n\in\mathbb N,\forall x\in\mathbb R,\ xL''_n(x)-(x-1)L'_n(x)+nL_n(x)=0.$$
Dériver l'expression obtenue en 12 puis remplacer $L'_{n+1}$ par l'expression trouvée en 10.
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