EXERCICE 2

On considère l'application $\varphi$ définie sur $\mathbb R_+$ par : $$\begin{cases} &\varphi(x)=1-x^2\ln(x)\text{ si }x>0\\ &\varphi(0)=1 \end{cases}$$ ainsi que la fonction numérique $f$ des variables réelles $x$ et $y$ définie par : $$\forall (x,y)\in]0,+\infty[\times]0,+\infty[,\ f(x,y)=xy+\ln(x)\ln(y).$$

PARTIE I. Etude des zéros de $\varphi$.

1. Déterminer la limite de $\varphi(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, ansi que la limite de $\frac{\varphi(x)}{x}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Interpréter cette limite.

2. Prouver que $\varphi$ est continue sur $\mathbb R_+$.

3. Justifier la dérivabilité de $\varphi$ sur $\mathbb R^*_+$ et calculer sa fonction dérivée.

4. Montrer que $\varphi$ est dérivable en $0$. Donner l'allure de la représentation graphique de $\varphi$ au voisinage du point d'abscisse $0$.

5. Dresser le tableau de variation de $\varphi$.

6. On rappelle que $\ln(2)\simeq 0.7$. Montrer l'existence d'un unique réel $\alpha$ tel que : $\varphi(\alpha)=0$ et justifier que : $\sqrt 2 <\alpha<\!2$.

7. Etablir la convergence de l'intégrale $I=\int_0^{\alpha}\varphi(x)dx$ et vérifier que : $$I=\frac{\alpha(6+\alpha^2)}{9}.$$

8. On considère les deux suites $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ définies par : $$\begin{align} &a_0=\sqrt 2\text{ et } b_0=2,\\ &\forall n\geq 0,\text{ si }\varphi(a_n)\varphi\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)<\!0\text{ alors }a_{n+1}=a_n\text{ et }b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\\ &\forall n\geq 0,\text{ si }\varphi(a_n)\varphi\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)\geq 0\text{ alors }a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\text{ et }b_{n+1}=b_n. \end{align}$$ Ecrire un programme en Pascal calculant $a_7$ et $b_7$.

PARTIE III. Extrema de $f$ sur $]0,+\infty[\times]0,+\infty[$.

Rappelons que $\alpha$ est l'unique réel vérifiant $\varphi(\alpha)=0.$

1. Justifier que $f$ est de classe $C^2$ sur $]0,+\infty[\times]0,+\infty[$.

2. Calculer les dérivées partielles premières et prouver que le point de coordonnées $\left(\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\alpha}\right)$ est l'unique point critique de $f$ sur $]0,+\infty[\times]0,+\infty[$.

3. Calculer les dérivées partielles secondes sur $]0,+\infty[\times]0,+\infty[$ et établir que pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs : $$\begin{cases} &\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)=\left(\frac{y}{x}\right)^2\left(1-\varphi\left(\frac{1}{y}\right)\right)\\ &\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y)=1+\frac{1}{xy}\\ &\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)=\left(\frac{x}{y}\right)^2\left(1-\varphi\left(\frac{1}{x}\right)\right). \end{cases}$$

4. La fonction $f$ présente-t-elle un extremum local sur $]0,+\infty[\times]0,+\infty[$? Si oui, en donner sa nature (maximum ou minimum).

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Formulaire

L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : $\bf{\$formule\$}$. Par exemple $\bf{\$ u\_n \$}$ sera interprétée comme une formule et donnera $\bf{u_n}$. Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :

• Indice bas u_n : $u_n$
• Indice haut X^p : $X^p$
• Multi-indices A_{1,2}^{pq} : $A_{1,2}^{pq}$
• Intégrales \int_a^b f(t)dt : $\int_a^b f(t)dt$
• Somme \sum_{i=1}^n u_i : $\sum_{i=1}^n u_i$
• Pour les lettres greques, il suffit de connaître leur noms, \alpha donn $\alpha$, \beta donne $\beta$, etc.
• Et pour les lettres greques majuscules, il suffit de mettre la première lettre en majuscule : \Gamma donne $\Gamma$, \Sigma donne $\Sigma$ etc.