EXERCICE 2

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathbb R_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degrés au plus $n$. On considère l'application f qui à un polynôme P de $\mathbb R_n[X]$ associe le polynôme : $$f(P)=P''-4XP'$$

1. Etude de f. Soit n un entier naturel fixé uniquement dans cette question.

(a) Justifier que f est un endomorphisme de $\mathbb R_n[X].$

Afficher

(b) Calculer $f(1),\ f(X)$ puis $f(X^k)$ pour $k\in\{2,\dots,n\}$.

Etablir alors que la matrice $A_n$ de f dans la base canonique de $\mathbb R_n[X]$ est triangulaire.

Afficher

(c) Prouver que f est diagonalisable et que chacun de ses espaces propres est de dimension 1.

Afficher

(d) Soit P un vecteur propre de f associé à la valeur propre $\lambda."$

Etablir que : $\lambda=-4deg(P).$

Afficher

En déduire qu'il existe un unique polynôme unitaire $H_n$ de degrés n tel que $$({\cal E})\ :\ f(H_n)=-4nH_n.$$

Rappel : un polynôme unitaire est un polynôme dont le coefficient dominantn vaut 1.

Afficher

2. Etude de la suite $(H_n)_{n\in\mathbb N}.$

(a) En dérivant la relation $({\cal E})$, démontrer que : $$\forall n\geq 1,\ f(H'_n)=-4(n-1)H'_n.$$

En déduire que : $$\forall n\geq 1,\ H'_n=nH_{n-1}\text{ et }\forall n\geq 2,\ H_n-XH_{n-1}+\frac{(n-1)H_{n-2}}{4}=0.$$

Afficher

(b) Pourquoi peut-on affirmer que $H_0=1$ et $H_1=X$? Calculer alors $H_2$ et $?H_3$.

Afficher

(c) D'après ce qui précède, la suite $H_n(1)$ satisfait à la relation de récurrence : $$u_0=1,\ u_1=1,\ \forall n\geq 2,\ u_n=u_{n-1}-\frac{(n-1)u_{n-2}}{4}.$$

Ecrire un programme en Pascal calculant $u_{2010}.$

3. Application aux point critiques d'une fonction à trois variables.

On note U l'ouvert de $\mathbb R^3$ défini par : $$U=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\text{ tel que } x\neq y\text{ et } y\neq z \text{ et } z\neq x\}$$

ainsi que la fonction V définie sur U par : $$\forall (x,y,z)\in U,\ V(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-\ln|x-y|-\ln|y-z|-\ln|z-x|.$$

Soit $(\alpha,\beta,\gamma)\in U.$

(a) Etablir que $(\alpha,\beta,\gamma)$ est un point critique de V si et seulement si $(\alpha,\beta,\gamma)$ est solution du système : $$({\cal S})\ :\ \left\lbrace\begin{matrix}2\alpha(\alpha-\gamma)(\alpha-\beta)=2\alpha-\beta-\gamma\\ 2\beta(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)=2\beta-\alpha-\gamma\\ 2\gamma(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)=2\gamma-\alpha-\beta\end{matrix}\right.$$

(b) On introduit le polynôme $Q(X)=(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma).$ Montrer que $(\alpha,\beta,\gamma)$ est solution de $({\cal S})$ si et seulement si $Q''-4XQ'$ admet pour racines $\alpha,\beta,\gamma.$

Afficher

(c) Prouver que si $(\alpha,\beta,\gamma)$ est un point critique de V alors $$Q''-4XQ'=-12Q$$

Afficher

puis que $Q=H_3$ (cf question 2.b.).

Afficher

Donner alors les points critiques de V.

Afficher

Pour afficher le fil des commentaires : Commentaires.

Pour poster un commentaire ou obtenir de l'aide : c'est ici!

Formulaire

L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : $\bf{\$formule\$}$. Par exemple $\bf{\$ u\_n \$}$ sera interprétée comme une formule et donnera $\bf{u_n}$. Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :

• Indice bas u_n : $u_n$
• Indice haut X^p : $X^p$
• Multi-indices A_{1,2}^{pq} : $A_{1,2}^{pq}$
• Intégrales \int_a^b f(t)dt : $\int_a^b f(t)dt$
• Somme \sum_{i=1}^n u_i : $\sum_{i=1}^n u_i$
• Pour les lettres greques, il suffit de connaître leur noms, \alpha donn $\alpha$, \beta donne $\beta$, etc.
• Et pour les lettres greques majuscules, il suffit de mettre la première lettre en majuscule : \Gamma donne $\Gamma$, \Sigma donne $\Sigma$ etc.