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Partie III


Partie III. Quelques propriétés de la fonction

Les notation sont celles des parties I et II.

14. Premières application : les formules de Wilks et Legendre.

a) Soit (a_k)_{k\in\mathbb N} une suite réelle. Pour tout n de \mathbb N^* et tout réel t>0, établir l'égalité : 2\sum_{k=0}^{2n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{k+1}}{t+k}\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{2k+1}}{\frac{t}{2}+k}\right)+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{a_{2k+2}}{\frac{t+1}{2}+k}\right)+2\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)

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b) Exprimer w_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right) en fonction de deux termes de la suite (h_n)_{n\geq 1}. En déduire que \lim_{n\to+\infty}w_n=\ln 2.

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c) Pour t>0, soit X_t et X_{t+\frac{1}{2}} deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives \gamma(t) et \gamma(t+\frac{1}{2}). En utilisant les questions 4 et 9.d, montrer que la variable aléatoire 2\ln(X_t) est de même loi que la variable aléatoire \ln(X_{\frac{t}{2}})+\ln(X_{\frac{t+1}{2}})+2\ln 2.

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d) On pose t=2s. Déduire de la question précédente que pour tout réel r>0, (X_{2s})^{2r} et 2^{2r}(X_s)^r(X_{s+\frac{1}{2}})^r sont de même loi.

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e) En choisissant une valeur particulière de s, établir pour tout r>0, la formule : 2^{2r-1}\Gamma(r)\Gamma(r+\frac{1}{2})=\Gamma(2r)\sqrt\pi.

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15. Deuxième application : la formule de Stirling.

a) Déterminer quatre réels a,b,c,d tels que pour tout réel u>0, on a : \frac{1}{u^2(u+1)^2}=\frac{a}{u^2}+\frac{b}{(u+1)^2}+\frac{c}{u}+\frac{d}{u+1}.

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En déduire pour tout t>0, la relation : \psi'(t)=\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^2}+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(t+k)^2(t+k+1)^2}.

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On admet sans démonstration que pour tout u>0, on a : \frac{1}{3}\left(\frac{1}{(u+\frac{1}{14})^3}-\frac{1}{(u+\frac{15}{14})^3}\right)\leq\frac{1}{u^2(u+1)^2}\leq\frac{1}{3}\left(\frac{1}{u^3}-\frac{1}{(u+1)^3}\right).

Déduire des deux résultats précédents, pour tout t>0, les deux encadrements : \frac{1}{2t^2}+\frac{1}{6(t+\frac{1}{14})^3}\leq\psi'(t)-\frac{1}{t}\leq\frac{1}{2t^2}+\frac{1}{6t^3}\text{ et }\ln t-\frac{1}{2t}-\frac{1}{12t^2}\leq \psi(t)\leq\ln t-\frac{1}{2t}-\frac{1}{12(t+\frac{1}{14})^2}.

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En déduire un équivalent de E(\ln(X_t)) et de V(\ln(X_t)) respectivement, lorsque t tend vers +\infty.

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Calculer pour tout y vérifiant y>t>0, l'intégrale : \int_t^y\left(\psi(x)-\ln(x)+\frac{1}{2x}\right)dx.

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Montrer que pour tout t fixé, l'existence de \lim_{y\to+\infty}\ln\left(\frac{\Gamma(y)}{y^{y-\frac{1}{2}}e^{-y}}\right); on note \theta cette limite.

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En utilisant la question 14.e et l'identité : x^x=\left(x+\frac{1}{2}\right)^x\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{-x}, valable pour x>0, calculer e^\theta. En déduire que \Gamma(x) est équivalent à \sqrt{2\pi}x^{x-\frac{1}{2}}e^{-x}, lorsque x tend vers +\infty.

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Formulaire

L'insertion de formules suit la syntaxe LATEX. Toute formule doit être encadrée par des dollars : \bf{\$formule\$}. Par exemple \bf{\$ u\_n \$} sera interprétée comme une formule et donnera \bf{u_n}. Voici quelques exemples pour ceux qui ne sont pas habitués :

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